Question

13．已知函数f（x）=log₂（x+1），g（x）=e^x
（Ⅰ）若F（x）=f（2^x）+kx为偶函数，求k的值；
（Ⅱ）判断h（x）=f（x）+g（x）在其定义域上的单调性，若h（x）具有单调性，请用定义证明；若不具有单调性，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的定义得到2k+1=0，求出k的值即可；（Ⅱ）根据函数单调性的定义判断即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数F（x）=log₂（2^x+1）+kx（k为常数）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），即 log₂（ 2^-x+1）-kx=log₂（ 2^x+1）+kx，
即log₂（ 2^x+1）-x-kx=log₂（ 2^x+1）+kx，可得（2k+1）x=0，
∴2k+1=0，∴k=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵f（x）=log₂（x+1），g（x）=e^x在（-1，+∞）递增，
∴h（x）=f（x）+g（x）在其定义域上单调递增，
不妨设-1＜x₁＜x₂，
则h（x₁）-h（x₂）=log₂（x₁+1）+${e}^{{x}_{1}}$-log₂（x₂+1）-${e}^{{x}_{2}}$，
=log₂$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$+（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）
∵x₁＜x₂，
∴$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{2}+1}$＜1，${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$＜0，
故h（x₁）-h（x₂）＜0，
故h（x）在（-1，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查对数函数以及指数函数的性质，是一道中档题．