Question

1．定义区间[x₁，x₂]的长度为x₂-x₁（x₂＞x₁）单调递增），函数$f（x）=\frac{{（{a^2}+a）x-1}}{{{a^2}x}}$（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． -3
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 由题意求出f（x）的定义域并化简解析式，判断出区间的范围和f（x）的单调性，由题意列出方程组，转化为m，n是方程f（x）的同号的相异实数根，利用韦达定理表示出mn和m+n，由判别式大于零求出a 的范围，表示出n-m利用配方法化简后，由二次函数的性质求出最大值和a的值．

解答 解：由题意得，函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，
∵[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（-∞，0）或（0，+∞）．
∵f（x）=$（1+\frac{1}{a}）-\frac{1}{{a}^{2}x}$在[m，n]上是增函数，
∴由条件得$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，则m，n是方程f（x）=x的同号相异的实数根，
即m，n是方程（ax）²-（a²+a）x+1=0同号相异的实数根．
∴mn=$\frac{1}{{a}^{2}}＞0$，m+n=$\frac{{a}^{2}+a}{{a}^{2}}$=$\frac{a+1}{a}$，
则△=（a²+a）²-4a²＞0，解得a＞1或a＜-3．
∴n-m=$\sqrt{（n+m）^{2}-4mn}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+2a-3}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{2}{a}+1}$
=$\sqrt{-3（\frac{1}{a}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
∴n-m的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此时$\frac{1}{a}=\frac{1}{3}$，解得a=3，
即在区间[m，n]的最大长度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，a的值是3．
故选D．．

点评 本题考查函数与方程的关系及其转化，函数单调性、值域，一元二次函数的性质，以及韦达定理的综合应用，考查化简、变形能力．