Question

7．已知函数f（x）=x³+|x-a|（a∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a∈（0，1）时，求f（x）在区间[-1，1]上的最小值（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0）的值，求出切线方程即可；
（2）求出f（x）的分段函数的形式，根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值即可．

解答 解：（1）a=1，x＜1时，f（x）=x³+1-x，
f′（x）=3x²-1，
故f（0）=1，f′（0）=-1，
故切线方程是y=-x+1；
（2）a∈（0，1）时，由已知得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+x-a，a≤x≤1}\\{{x}^{3}-x+a，-1≤x＜a}\end{array}\right.$，
a＜x＜1时，由f′（x）＞0，得f（x）在（a，1）递增，
-1＜x＜a时，由f′（x）=3x²-1，
①a∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）时，f（x）在（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）递增，在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）递减，在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）递增，
∴f（x）_min=min{f（-1），f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）}=min{a，a-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$}=a-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
②a∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]时，f（x）在（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）递增，在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a）递减，在（a，1）递增，
∴f（x）_min=min{f（-1），f（a）}=min{a，a³}=a³；
综上，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{2\sqrt{3}}{9}，a∈（\frac{\sqrt{3}}{3}，1）}\\{{a}^{3}，a∈（0，\frac{\sqrt{3}}{3}]}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、考查切线方程问题，是一道中档题．