Question

2．（1）在极坐标系中，求点（2，$\frac{π}{3}$）到直线ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）=6的距离；
（2）已知直线l的方程为y=x+2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=4（ρ＞0，$\frac{3π}{4}$＜θ＜$\frac{5π}{4}$），求直线l与曲线C的交点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）化点的极坐标为直角坐标，化直线的极坐标方程为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得答案；
（2）化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程，联立直线方程和切线方程，求出交点的直角坐标，转化为极坐标得答案．

解答 解：（1）（2，$\frac{π}{3}$）化为直角坐标为（1，$\sqrt{3}$）．
直线ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）=6化为直角坐标方程为$x+\sqrt{3}y-6=0$．
由点到直线的距离公式得：点（1，$\sqrt{3}$）到直线$x+\sqrt{3}y-6=0$的距离d=$\frac{|1×1+\sqrt{3}×\sqrt{3}-6|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}=1$；
（2）曲线C的极坐标方程为ρ²cos2θ=4（ρ＞0，$\frac{3π}{4}$＜θ＜$\frac{5π}{4}$），
得ρ²（cos²θ-sin²θ）=4（ρ＞0，$\frac{3π}{4}$＜θ＜$\frac{5π}{4}$），
可得直角坐标方程为x²-y²=4（x＜0）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
∴直线l与曲线C的交点的直角坐标为（-2，0），极坐标为（2，π）．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，是基础题．