Question

17．已知幂函数$f（x）={（{m-1}）^2}{x^{{m^2}-4m+3}}$在（0，+∞）上单调递增．
（1）求实数m的值；
（2）若函数$h（x）=-\root{3}{{{{[{f（x）}]}^2}}}+2bx+1-b$在[0，2]上的最大值为3，求实数b的值．

Answer 1

分析 （1）利用幂函数的定义可知m=0或m=2，进而验证即得结论；
（2）通过（1）可知h（x）的图象是以x=b为对称轴、开口向下的抛物线（y轴及其右侧部分），分b≤0、0＜b＜2、b≥2三种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵$f（x）={（{m-1}）^2}{x^{{m^2}-4m+3}}$为幂函数，
∴（m-1）²=1，解得m=0或m=2，
当m=0时，m²-4m+3=0-0+3=3，即f（x）=x³，满足题意；
当m=3时，m²-4m+3=9-12+3=0，即f（x）=1，不满足题意；
综上所述，实数m的值为0；
（2）由（1）可知$h（x）=-\root{3}{{{{[{f（x）}]}^2}}}+2bx+1-b$=-x²+2bx+1-b，x≥0，
∴h（x）的图象是以x=b为对称轴、开口向下的抛物线（y轴及其右侧部分），
当b≤0时，h（x）在[0，2]上单调递减，
此时h（x）_max=h（0）=1-b=3，解得：b=-2，满足题意；
当0＜b＜2时，h（x）在[0，b）上单调递增、在（b，2]上单调递减，
此时h（x）_max=h（b）=-b²+2b²+1-b=3，解得：b=2或b=-1，不满足题意；
当b≥2时，h（x）在[0，2]上单调递增，
此时h（x）_max=h（2）=-4+4b+1-b=3，解得：b=2，满足题意；
综上所述，实数b的值为±2．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．