Question

9．已知$\{{a_n}\}（n∈{N^*}）满足：{a_n}=\left\{\begin{array}{l}n（n=1，2，3，4，5，6）\\-{a_{n-3}}（n≥7且n∈{N^*}）\end{array}\right.，则{a_{2015}}$=5，S₂₀₁₅=15．

Answer 1

分析 根据题意推知数列{a_n}（n≥7）是周期为3的周期数列，由此进行解答．

解答 解：∵$\{{a_n}\}（n∈{N^*}）满足：{a_n}=\left\{\begin{array}{l}n（n=1，2，3，4，5，6）\\-{a_{n-3}}（n≥7且n∈{N^*}）\end{array}\right.，{\;}$
a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，a₆=6，
a₇=-a₄=-4，a₈=-a₅=-5，a₉=-a₆=-6，
a₁₀=-a₄=-4，a₁₁=-a₈=a₅=5，a₁₂=-a₉=a₆=6，
a₁₃=-a₄=-4，a₁₄=-a₈=a₅=5，a₁₅=-a₉=a₆=6，
∴数列{a_n}（n≥7）是周期为3的周期数列，
∵2015=671×3+2，
∴a₂₀₁₅=a₅=5．
∴S₂₀₁₅=a₁+a₂+a₃+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄+a₂₀₁₅，
=a₁+a₂+a₃-a₄+a₅+a₆-a₄+a₅，
=1+2+3-4+5+6-4+5，
=15．
故a₂₀₁₅=5．S₂₀₁₅=15．
故答案为5；15．

点评 本题考查了数列递推式、数列的周期性，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．