Question

10．已知△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是钝角三角形．

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知不等式可得a²+b²＜c²，进而利用余弦定理可求cosC＜0，结合C的范围即可判断得解．

解答 解：△ABC中，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=k$＞0，
∴sinA=$\frac{a}{k}$，sinB=$\frac{b}{k}$，sinC=$\frac{c}{k}$．
∵asinA+bsinB＜csinC，
∴$\frac{{a}^{2}}{k}$+$\frac{{b}^{2}}{k}$＜$\frac{{c}^{2}}{k}$，即a²+b²＜c²．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0．
∵0＜C＜π，
∴$\frac{π}{2}$＜C＜π．
∴角C为钝角．
∴△ABC的形状是钝角三角形．
故答案为：钝角三角形．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解题的关键，属于基础题．