Question

19．已知点P（2，0），Q（0，-2），动点M在直线l：x-y-1=0上，求：
（1）PM+QM的最小值；
（2）PM²+QM²的最小值．

Answer 1

分析 （1）设点P关于直线l的对称点P′（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-0}{a-2}×1=-1}\\{\frac{a+2}{2}-\frac{0+b}{2}-1=0}\end{array}\right.$，解得P′（1，1），求出直线P′Q的方程．则经过P′Q的直线与l相交于点M，即可对称．
（2）设M（x，x-1），利用两点之间的距离公式可得PM²+QM²=4$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+5，即可得出．

解答 解：如图所示，
（1）设点P关于直线l的对称点P′（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-0}{a-2}×1=-1}\\{\frac{a+2}{2}-\frac{0+b}{2}-1=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，∴P′（1，1），
直线P′Q的方程为：y=$\frac{-2-1}{0-1}$x-2，即y=3x-2．
则经过P′Q的直线与l相交于点M，即为所求．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-2}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．M$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$．
PM+QM的最小值=|P′Q|=$\sqrt{{1}^{2}+（1+2）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
（2）设M（x，x-1），则PM²+QM²=（x-2）²+（x-1）²+x²+（x+1）²=4x²-4x+6=4$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+5，
∴当x=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$时，PM²+QM²的最小值为5．

点评 本题考查了对称性、相互垂直平分的性质、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．