Question

已知抛物线D的顶点是椭圆C：＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．

(1)求抛物线D的方程；

(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．

①若直线l的斜率为1，求MN的长；

②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

 

Answer 1

(1)y2＝4x（2）①②存在直线m：x＝3满足题意

【解析】(1)由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．由a2－b2＝4－3＝1，得c＝1，∴抛物线的焦点为(1，0)，∴p＝2.∴抛物线D的方程为y2＝4x.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

①直线l的方程为y＝x－4，联立整理得x2－12x＋16＝0，即M(6－2，2－2)，N(6＋2，2＋2)，∴MN＝.

②设存在直线m：x＝a满足题意，则圆心E，过E作直线x＝a的垂线，垂足为E′，设直线m与圆E的一个交点为G.可得|E′G|2＝|EG|2－|EE′|2，即|E′G|2＝|EA|2－|EE′|2＝＝＋＋a(x1＋4)－a2＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2.当a＝3时，|E′G|2＝3，此时直线m被以AM为直径的圆E所截得的弦长恒为定值2，因此存在直线m：x＝3满足题意