Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在x轴上．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

(3)设过点M(m，0)(m>0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式．

 

Answer 1

（1）y2＝2x（2）x＋y－＝0（3）(m>0)

【解析】(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px.因为点A(2，2)在抛物线C上，所以p＝1.因此抛物线C的标准方程为y2＝2x.

(2)由(1)可得焦点F的坐标是，又直线OA的斜率为＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x＋y－＝0.

(3)(解法1)设点D和E的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是y＝k(x－m)，k≠0.

将x＝＋m代入y2＝2x，有ky2－2y－2km＝0，解得y1，2＝.

由ME＝2DM知1＋＝2(－1)，化简得k2＝.

因此DE2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(y1－y2)2＝(m2＋4m)，所以f(m)＝ (m>0)．

(解法2)设D，E.

由点M(m，0)及＝2，得t2－m＝2，t－0＝2(0－s)．因此t＝－2s，m＝s2.所以f(m)＝DE＝ (m>0)．