Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足：f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，若f（-0.5）=9，则f（2012）+f（2014）+f（2.5）+f（1.5）等于（　　）

• A、-18
• B、-9
• C、0
• D、9

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性之间的关系，推导出函数是周期函数，利用函数的周期性即可进行求值．

解答： 解：∵f（x）是偶函数，f（x-1）是奇函数，
∴f（-x）=f（x），f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数f（x）的周期是4，
∴f（2012）+f（2014）+f（2.5）+f（1.5）=f（0）+f（2）+f（-1.5）+f（1.5）=f（0）+f（2）+2f（1.5），
当x=0时，f（2）=-f（0），
即f（0）+f（2）=0，
当x=-0.5，f（-0.5+2）=-f（0.5）=-9，
即f（1.5）=-9，
∴f（2012）+f（2014）+f（2.5）+f（1.5）=f（0）+f（2）+2f（1.5）=0-9×2=-18．
故选：A

点评：本题主要考查函数值的计算，利用条件推导函数是周期函数是解决本题的关键．综合考查函数性质的应用．