Question

如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中点， P为半圆弧上一点，且AB＝4，∠POB＝30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P.
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，
若△OEF的面积不小于2，求直线l的斜率的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）双曲线C的方程是.（Ⅱ）直线l的斜率的取值范围是[－，－1)(－1，1)(1，]. ；

（Ⅰ）方法一：以O为原点，AB、OD所在直线分别
为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则
点A(－2，0），B(2，0），P(，1).                                          
设双曲线实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则
2a＝｜PA｜－｜PB｜＝，2c＝|AB|＝4.    
所以a＝，c＝2，从而b²＝c²－a²＝2.                                        
故双曲线C的方程是.                                            
方法二：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则
点A(－2，0），B(2，0），P(，1).                                          
设双曲线C的方程为＞0，b＞0），则.              
解得a²＝b²＝2，故双曲线C的方程是                             
(Ⅱ)据题意可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程得，，
即(1－k²)x²－4kx－6＝0.                                                        
因为直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，则
 　即　                        
设点E(x₁，y₁），F(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝.                     
所以｜EF｜＝
又原点O到直线l的距离d＝.                                        
所以S_△DEF=      
因为S_△OEF，则
综上分析，直线l的斜率的取值范围是[－，－1)(－1，1)(1，].