Question

设a为实数，函数的最大值为g（a）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）设，把函数f（x）表示为t的函数h（t），并写出定义域；
（3）求g（a）．

Answer 1

解：（1）由题意得，∴函数f（x）的定义域为[-1，1]．
（2）由平方得．
由x∈[-1，1]得，t²∈[2，4]，所以t的取值范围是．
又，∴．即，定义域为．
（3）由题意知g（a）即为函数的最大值．
注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论：
①当a＞0时，函数的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知y=h（t）在上单调递增，∴g（a）=h（2）=a+2．
②当a=0时，h（t）=t，，∴g（a）=h（2）=2．
③当a＜0时，函数的图象是开口向下的抛物线的一段，．
a若，即时，则；
b若，即时，则；
c若，即时，则g（a）=h（2）=a+2；
综上有．
分析：（1）函数的定义域即使函数有意义的自变量的取值范围，根据偶次方根被开方数不小于零，列不等式组，解不等式组即可
（2）由平方得．∴，从而将函数f（x）换元为h（t），而h（t）的定义域即的值域，平方后求其值域即可
（3）由（2）知，可用换元法求函数的值域，函数h（t）为含参数的二次函数，其值域与a的取值有关，通过讨论对称轴的位置可得最大值关于a的函数g（a）．
点评：本题考查了求函数定义域的方法以及利用换元法求函数值域的方法，解题时要注意换元后函数的定义域的变化