Question

已知不等式x²-5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}
（1）求实数a，b的值；
（2）若0＜x＜1，f（x）=

a

x

+

b

1-x

，求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式,一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由三个二次的关系可得

4+1=5a 4×1=b

，解方程组可得；
（2）由（1）知f（x）=

1

x

+

4

1-x

（

1

x

+

4

1-x

）[x+（1-x）]=5+

1-x

x

+

4x

1-x

，由基本不等式可得．

解答： 解：（1）由题意可得

4+1=5a 4×1=b

，解得

a=1 b=4

，
∴实数a，b的值分别为1，4；
（2）由（1）知f（x）=

1

x

+

4

1-x

∵0＜x＜1，∴0＜1-x＜1，∴

1

x

＞0，

4

1-x

＞0，
∴f（x）=

1

x

+

4

1-x

=（

1

x

+

4

1-x

）[x+（1-x）]
=5+

1-x

x

+

4x

1-x

≥5+2

1-x x • 4x 1-x

=9
当且仅当

1-x

x

=

4x

1-x

即x=

1

3

时，等号成立．
∴f（x）的最小值为9．

点评：本题考查基本不等式，涉及一元二次不等式的解集，属基础题．