Question

已知f（x）=ln（x+2）-x²+bx+c．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（-1）=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在区间[0，2]上单调递减，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导函数，然后根据题意可得f′(1)=

7

3

，而f（-1）=0，建立方程组，可求出b与c的值，即可求出所求；
（Ⅱ）先求导函数，设g（x）=-2x²-（4-b）x+2b+1，因为△＞0恒成立，故g（x）=0必有两根，根据f（x）在区间[0，2]上单调递减，则g（x）在[0，2]上值恒非正，建立关系式，可求出b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x+2

-2x+b，
∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直
∴f′(1)=

7

3

，而f（-1）=0得b=4，c=5．
所以f（x）=ln（x+2）-x²+4x+5．…（6分）
（Ⅱ）f′(x)=

1

x+2

-2x+b=

-2x2-(4-b)x+2b+1

x+2

(x＞-2)，…（8分）
设g（x）=-2x²-（4-b）x+2b+1，
因为△＞0恒成立，故g（x）=0必有两根．
∵f（x）在区间[0，2]上单调递减，
∴g（x）在[0，2]上值恒非正，
∴

- -(4-b) 2•(-2) ≤0 g(0)≤0

或

- -(4-b) 2•(-2) ≥2 g(2)≤0

解得b≤-

1

2

．
故当b≤-

1

2

时，f（x）在[0，2]上单调递减．…（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数单调性，同时考查了转化的思想和计算能力，属于中档题．