Question

已知函数f（x）=x²+（4a-2）x+1（x∈[a，a+1]）的最小值为g（a）．求函数y=g（a）的解析式．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）=x²+（4a-2）x+1我们可得函数的图象是以x=1-2a为对称轴，开口方向朝上的抛物线，分析区间[a，a+1]与对称轴的关系，求出各种情况下g（a）的表达式，综合写成一个分段函数的形式，即可得到函数y=g（a）的解析式．

解答：解：∵函数f（x）的对称轴方程为x=1-2a．（1分）
（1）当a+1≤1-2a时，即a≤0时，f（x）在[a，a+1]上是减函数，
g（a）=f（a+1）=（a+1）²+（4a-2）（a+1）+1=5a²+4a；（4分）
（2）当a＜1-2a＜a+1时，即0＜a＜

1

3

时，
g（a）=f（1-2a）=（1-2a）²+（4a-2）（1-2a）+1=-4a²+4a（7分）
（3）当1-2a≤a时，即a≥

1

3

时，f(x)在[a，a+1]上是增函数，
g（a）=f（a）=a²+（4a-2）a+1=5a²-2a+1．（10分）
所以g(a)=

5a2+4a(a≤0) -4a2+4a (0＜a＜ 1 3 ) 5a2-2a+1(a≥ 1 3 )

（12分）

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的性质，其中根据已知中函数f（x）=x²+（4a-2）x+1分析出函数图象及性质，以确定后面分段函数的分类标准及各段上g（a）的解析式，是解答本题的关键．