【题目】给出如下四个命题:
①“”是“
”的充分而不必要条件;
②命题“若,则函数
有一个零点”的逆命题为真命题;
③若是
的必要条件,则
是
的充分条件;
④在中,“
”是“
”的既不充分也不必要条件.
其中正确的命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】
利用四种命题的关系,充要条件,复合命题的真假,逐一判断即可得到结论.
①由,解得
;由
,解得
;
所以,“”是“
”的必要不充分条件,故命题①错误;
②由函数有一个零点,当
时,函数
有一个零点,符合题意;当
时,由
,解得
,此时函数有一个零点;
所以,函数有一个零点的等价条件为
,
故命题“若,则函数
有一个零点”的逆命题为“函数
有一个零点,则
”此命题为假命题,故命题②错误;
③若是
的必要条件,可得
,则
,所以
是
的充分条件,故命题③正确;
④在中,若
,由于
,必有
,若
,
都是锐角,有
成立;若
,
之一为锐角,必是
为锐角,此时有
不是钝角,由于
,必有
,此时有
;
若,当
不是锐角时,有
,当
为锐角时,仍可得到
;
故“”是“
”的充要条件,故命题④错误.
综上,命题③正确.
故选:A.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的的参数方程为
(其中
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点
的极坐标为
,直线
经过点
.曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)过点作直线
的垂线交曲线
于
两点(
在
轴上方),求
的值.
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【题目】设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方
程为y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,
并求出此定值.
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【题目】下面四个关于圆锥曲线的命题中,其中真命题为( )
A.设A、B为两个定点,K为非零常数,若,则动点P的轨迹是双曲线
B.方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
C.双曲线与椭圆
有相同的焦点
D.已知抛物线,以过焦点的一条弦AB为直径作圆,则此圆与准线相切
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【题目】四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC底面BCDE,BC=2,CD=
,AB=AC
(1)证明.
(2)设侧面ABC为等边三角形,求二面角C-AD-E的余弦值。
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【题目】如图,在正方体中,
,
,
分别是
,
,
的中点.
(1)求异面直线与
所成角的余弦值;
(2)棱上是否存在点
,使得
∥平面
?请证明你的结论;
(3)求直线与平面
所成角的余弦值;
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【题目】某地区为了了解本年度数学竞赛成绩情况,从中随机抽取了个学生的分数作为样本进行统计,按照
,
,
,
,
的分组作出频率分布直方图如图所示,已知得分在
的频数为20,且分数在70分及以上的频数为27.
(1)求样本容量以及
,
的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生,求所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率.
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【题目】 设椭圆的左焦点为
,左顶点为
,顶点为B.已知
(
为原点).
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设经过点且斜率为
的直线
与椭圆在
轴上方的交点为
,圆
同时与
轴和直线
相切,圆心
在直线
上,且
,求椭圆的方程.
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