Question

【题目】 设椭圆的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知（为原点）.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.

Answer 1

【答案】（I）首先设椭圆的半焦距为，根据题意得到，结合椭圆中的关系，得到，化简得出，从而求得其离心率；

（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得，从而得到椭圆的方程.

【解析】

（I）；

（II）.

（I）解：设椭圆的半焦距为，由已知有，

又由，消去得，解得，

所以，椭圆的离心率为.

（II）解：由（I）知，，故椭圆方程为，

由题意，，则直线的方程为，

点的坐标满足，消去并化简，得到，

解得，

代入到的方程，解得，

因为点在轴的上方，所以，

由圆心在直线上，可设，因为，

且由（I）知，故，解得，

因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，

又由圆与相切，得，解得，

所以椭圆的方程为：.