Question

数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差不为零的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=

1

bnbn+1

，前n项和为P_n，对于?n∈N^*不等式 P_n＜t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据当n=1时a₁=S₁，当n≥2时a_n=S_n-S_n-1，判断出数列{a_n}是以2为首项，公比为2的等比数列，并求出
a_n，由等比中项的性质、等差数列的通项公式求出b_n；
（2）由（1）和题意求出c_n，利用裂项相消法求出前n项和P_n，化简后求出P_n的范围，由恒成立求出实数t的取值范围．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
得a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以2为首项，公比为2的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ．
则b₁=a₁=2，设公差为d，则b₁，b₃，b₁₁成等比数列，
得（2+2d）²=2×（2+10d），
解得d=0（舍去）或d=3
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=3n-1．
（2）c_n=

1

bnbn+1

=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

（

1

3n-1

-

1

3n+2

）
则p_n=

1

3

（

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

8

+…+

1

3n-1

-

1

3n+2

）=

1

3

（

1

2

-

1

3n+2

）＜

1

6

，
又对于?n∈N^*不等式 P_n＜t恒成立，
所以实数t的取值范围是t≥

1

6

．

点评：本题考查了a_n与S_n的关系式，等比中项的性质、等差数列的通项公式，裂项相消法求数列前n项和，以及数列的恒成立问题转化为求范围问题，属于中档题．