Question

4．已知函数f（x）=a（x-1）-2lnx（a∈R）
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间（0，1]上的最小值为0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，表示出最小值，得到关于a的方程，判断a的具体范围即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x-1-2lnx，x＞0，
f′（x）=$\frac{x-2}{x}$，（x＞0），
∴f′（1）=-1，f（1）=0，
故切线方程是：y-0=-1（x-1），
故x+y-1=0；
（2）f′（x）=$\frac{ax-2}{x}$，x∈（0，1]，
a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1]递减，
∴f（x）_min=f（1）=0，
0＜a≤2时，f′（x）≤0，f（x）在（0，1]递减，
∴f（x）_min=f（1）=0，
a＞2时，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{2}{a}$，令f′（x）＞0，解得：$\frac{2}{a}$＜x≤1，
∴f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）递减，在（$\frac{2}{a}$，1]递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{2}{a}$）＜f（1）=0（舍），
综上，a的范围是（-∞，2]．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．