Question

14．志强同学在一次课外研究性学习中发现以下一系列等式成立：$\frac{1+（\frac{1}{2}）^{2}}{1+{2}^{2}}$=（$\frac{1+\frac{1}{2}}{1+2}$）²，$\frac{1+{4}^{3}}{1+（\frac{1}{4}）^{3}}$=（$\frac{1+4}{1+\frac{1}{4}}$）³，$\frac{{1+{{（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}^4}}}{{1+{{（{-\sqrt{2}}）}^4}}}={（{\frac{{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{1-\sqrt{2}}}}）^4}$，…，于是他想用符号表示这个规律，他已经写了一部分，请帮他补充完整，若a，b∈R，b≠1，ab=1，n∈N^*，则$\frac{1+{a}^{n}}{1+{b}^{n}}=（\frac{1+a}{1+b}）^{n}$．

Answer 1

分析 根据已知中的等式，分析等式两边式子的变化规律，可得答案．

解答 解：由已知中的等式：
$\frac{1+（\frac{1}{2}）^{2}}{1+{2}^{2}}$=（$\frac{1+\frac{1}{2}}{1+2}$）²，
$\frac{1+{4}^{3}}{1+（\frac{1}{4}）^{3}}$=（$\frac{1+4}{1+\frac{1}{4}}$）³，
$\frac{{1+{{（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}^4}}}{{1+{{（{-\sqrt{2}}）}^4}}}={（{\frac{{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{1-\sqrt{2}}}}）^4}$，
…，
归纳可得：等式左边的分子为1+aⁿ，分母为1+bⁿ，
等式右边的底数为：$\frac{1+a}{1+b}$，指数为n，
故得到的一般规律为：$\frac{1+{a}^{n}}{1+{b}^{n}}=（\frac{1+a}{1+b}）^{n}$，
故答案为：$\frac{1+{a}^{n}}{1+{b}^{n}}=（\frac{1+a}{1+b}）^{n}$

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．