Question

5．已知圆C：x²+y²+6x-8y+21=0．
（1）若直线l₁过点A（-1，0），且与圆C相切，求直线l₁的方程；
（2）若圆D的半径为4，圆心D在直线l₂：x-y+5=0上，且与圆C内切，求圆D的方程．

Answer 1

分析 （1）将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，先验证斜率不存在是否成立，由点斜式设直线l的方程，根据直线与圆相切的条件、点到直线的距离公式列出方程求出斜率，即可确定出直线l的方程；
（2）设圆心D的坐标为（a，b），根据条件和直线与圆相切的条件、点到直线的距离公式列出方程组，求出a、b的值，即可求出圆D的方程．

解答 解：（1）圆C：x²+y²+6x-8y+21=0化为标准方程：（x+3）²+（y-4）²=4，
∴圆心C（-3，4），半径r=2；
①当直线l₁斜率不存在时，直线x=-1满足题意；
②当斜率存在时，设直线l₁方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
根据题意得：圆心C到直线l₁的距离d=r，则$\frac{|-3k-4+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，
解得k=-$\frac{3}{4}$，∴直线l₁方程为3x+4y+3=0，
综上，直线l₁方程为x=-1或3x+4y+3=0；
（2）设圆心D的坐标为（a，b），且半径是4，
∵圆心D在直线l₂：x-y+5=0上，且与圆C内切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+5=0}\\{\sqrt{（a+3）^{2}+（b-4）^{2}}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴圆D的方程是（x+3）²+（y-2）²=16或（x+1）²+（y-4）²=16．

点评 本题考查直线与圆相切的条件，待定系数法求直线与圆的方程，及点到直线的距离公式，考查方程思想和配方法的应用．