Question

3．动直线l：（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0过定点P，则点P的坐标为（0，-6），若直线l与x轴的正半轴有公共点，则λ的取值范围是{λ|λ＞1或λ＜-$\frac{1}{3}$}．

Answer 1

分析 由题意（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0得（其中λ∈R），由此可得方程组，从而可求定点的坐标；分类讨论，即可得到λ的取值范围．

解答 解：由（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0得：λ（3x-y-6）+（x+y+6）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x+y+6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-6}\end{array}\right.$，即直线恒过定点P（0，-6）；
由（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0，
当λ=1时，即x=0，不满足题意，
当λ≠1时，当y=0时，（3λ+1）x+6-6λ=0，
若λ=-$\frac{1}{3}$，此时无解，
若λ≠-$\frac{1}{3}$，
则x=$\frac{6λ-6}{3λ+1}$，
由直线l与x轴的正半轴有公共点，
∴$\frac{6λ-6}{3λ+1}$＞0，
即（λ-1）（x+$\frac{1}{3}$）＞0，
解得λ＞1或λ＜-$\frac{1}{3}$，
综上所述λ的范围为{λ|λ＞1或λ＜-$\frac{1}{3}$}
故答案为：（0，-6），{λ|λ＞1或λ＜-$\frac{1}{3}$}

点评 本题考查直线恒过定点，两直线交点的意义，直线的斜率的范围是解得本题的关键，属于中档题．