Question

6．已知f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，若f（lnx）＞f（1），则x的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{e}$，1）
• B． （0，$\frac{1}{e}$）∪（1，+∞）
• C． （$\frac{1}{e}$，e）
• D． （0，1）∪（e，+∞）

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）是定义在R上偶函数且连续，当x＞0时，f′（x）＜0，函数单调递减，可得，当x＜0时，f′（x）＞0，函数单调递增，进而将不等式f（ln（x））＞f（1），转化为一个对数不等式，再根据对数的单调性，即可得到答案．

解答 解：∵f（x）是定义在R上偶函数，
当x＞0时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，则x＜0时，函数为增函数，
若f（lnx）＞f（1），
∴|lnx|＜1，
∴-1＜lnx＜1，即$\frac{1}{e}$＜x＜e，
故答案选：C．

点评 本题考函数的奇偶性与单调性的综合应用，利用导数判断对数函数的单调性并根据函数的单调性将不等式进行变形，属于中档题．