Question

已知函数f(x)=a+

2

bsin(x+

π

4

)(b＞0)图象经过点A（

π

2

，1）．当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为2

2

-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）由y=sinx的图象经过怎样的变换可得到f（x）的图象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数图象过点A（

π

2

，1），可得a+b=1，再由当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为2

2

-1，可得

2

b+a=2

2

-1，联立方程组求得a、b的值，即可求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵函数图象过点A（

π

2

，1），可得a+b=1．①…（3分）
∵当x∈[0，

π

2

]时，f(x)的最大值为2

2

-1．∴

2

b+a=2

2

-1，②…（6分）
联立①②得   

a=-1 b=2

，
∴f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1．…（9分）
（Ⅱ）①把y=sinx图象向左平移

π

4

个单位得到f(x)=sin(x+

π

4

)的图象，…（11分）
②再把f(x)=sin(x+

π

4

)的图象上所有点的纵坐标变为原来的2

2

倍，横坐标不变，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的图象，…（14分）
③最后把f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的图象向下平移一个单位，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1的图象．     …（16分）

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．