Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形．PD⊥底面ABCD，E是PB的中点．
（1）求证：面AEC⊥面PBD；
（2）当PD=AB=2时，求二面角A-DE-C的大小及点A到面DEC的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；
（2）先求出面DEC以及平面ADE的一个法向量，把求二面角问题转化为求向量的夹角问题；求点A到面DEC的距离实际上是求向量

AD

在面DEC的法向量上的投影的长度．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（2）解：分别以AD，DC，DP所在的直线为X，Y，Z轴，建立空间直角坐标系；
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），E（1，1，1）；
∴

DE

=（1，1，1），

AD

=（-2，0，0）；

CD

=（0，-2，0）
设平面ADE的法向量为

n

=（a，b，c），则

n • AD =0  n • DE =0

⇒

-2a=0 a+b+c=0

⇒

n

=（0，-1，1）；
同理设平面CDE的法向量为

m

=（d，e，f），则

m • DE =0 m • CD =0

⇒

-2e=0 d+e+f=0

⇒

m

=（-1，0，1）；
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2 × 2

=

1

2

．
∴二面角A-DE-C的大小为：60°．
∴点A到平面EDC的距离d=|

AD • m

| m |

|=

2

2× 2

=

2

2

．

点评：本题考查的知识点是向量语言表述直线的垂直关系，点到平面的距离运算，用空间向量求直线间的夹角，向量法的关键是建立恰当的空间坐标系，将空间线面关系问题转化为向量夹角问题，体现了转化的思想方法，属中档题．