Question

14．关于x的方程x²+4xsin$\frac{θ}{2}+mtan\frac{θ}{2}=0（\frac{π}{2}＜θ＜π）$有两个相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m=$\frac{6}{5}$时，求$\frac{{\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}-θ）•sinθ}}{cos2θ}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得△=0，可得m=$\frac{4si{n}^{2}\frac{θ}{2}}{tan\frac{θ}{2}}$=4sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=2sinθ，由三角函数的知识可得；
（2）当m=$\frac{6}{5}$时，sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=-$\frac{4}{5}$，化简要求的式子，代入计算可得．

解答 解：（1）由题意可得△=（4sin$\frac{θ}{2}$）²-4mtan$\frac{θ}{2}$=0，
∴m=$\frac{4si{n}^{2}\frac{θ}{2}}{tan\frac{θ}{2}}$=4sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=2sinθ，
∵$\frac{π}{2}$＜θ＜π，∴0＜sinθ＜1，
∴0＜2sinθ＜2，
∴实数m的取值范围为（0，2）；
（2）当m=$\frac{6}{5}$时，sinθ=$\frac{3}{5}$，
又$\frac{π}{2}$＜θ＜π，∴cosθ=-$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{{\sqrt{2}cos（\frac{π}{4}-θ）•sinθ}}{cos2θ}$=$\frac{\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}cosθ+\frac{\sqrt{2}}{2}sinθ）sinθ}{co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}$
=$\frac{（cosθ+sinθ）sinθ}{（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ）}$
=$\frac{sinθ}{cosθ-sinθ}$=$\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}}$=-$\frac{3}{7}$

点评 本题考查三角函数化简求值，涉及和差角的三角函数公式和一元二次方程根与系数关系，属中档题．