Question

在四面体PABC中，已知∠APB=∠BPC=∠CPA=

π

2

，且各棱长的和为

2

+1，则这个四面体体积的最大值是

 

．

Answer 1

分析：设出PA，PB，PC，求出AB，BC，AC，表示出棱长的和，和体积，利用基本不等式即可求解．

解答：解：设PA=a，PB=b，PC=c，则AB=

a2+b2

，AC=

a2+c2

，BC=

b2+c2

所以a+b+c+

a2+b2

+

a2+c2

+

b2+c2

=

2

+1

2

+1≥3

3	abc

+3

2

3	abc

∴abc≤

1

27

四面体体积的最大值为：

1

162

（此时a=b=c=

1

3

）
故答案为：

1

162

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，棱锥的结构特征，基本不等式求最大值，是中档题．