Question

19．已知O为平面直角坐标系的原点，F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过双曲线左顶点A，做两渐近线的平行线分别与y轴交于C、D两点，B为双曲线的右顶点，若以O为圆心，|OF₂|为直径的圆是四边形ACBD的内切圆，则装曲线的离心率为，（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 先根据双曲线的几何性质可推断出直线AD的方程，进而利用直线AD与四边形ACBD的内切圆相切，结合点到直线的距离公式得到a，b关系，最后求得a和c的关系式，即双曲线的离心率．

解答 解：由题意得：A（-a，0），渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
直线AD的方程为：y=$\frac{b}{a}$（x+a），
即：bx-ay+ab=0，
因为直线AD与四边形ACBD的内切圆相切，
设内切圆的半径为r，
故r=d，即$\frac{c}{2}$=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$?a=b，
∴双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及求双曲线的离心率问题，解题的关键是找到a，b和c的关系，考查运算能力，属于中档题．