Question

【题目】已知抛物线：上一点到其焦点的距离为2.

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）设抛物线的准线与轴交于点，直线过点且与抛物线交于，两点（点在点，之间），点满足，求与的面积之和取得最小值时直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）由题意知，抛物线的焦点为，把点代入抛物线方程，再结合点到其焦点的距离为2，利用两点间距离公式得到关于的方程，解方程即可求解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点，易知直线的斜率存在，且不为零，设其方程为，

设，，由，利用平面向量的坐标运算可得，，联立直线方程和抛物线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出的值，利用数形结合可得，，再利用基本不等式求最值即可求解.

（Ⅰ）的焦点为，依题意有，解得，

所以，抛物线的标准方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的标准方程为，其准线方程为：，

所以点易知直线的斜率存在，且不为零，其方程为，

设，，因为，即，

∴，联立方程，消去，得，，

根据题意，作图如下：

.

当且仅当，即或时，

与的面积之和最小，最小值为.

时，，，直线的方程为；

时，，，直线的方程为，

∴与的面积之和最小值时直线的方程为或.