Question

【题目】设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点.

（1）若过点，且，求的斜率；

（2）若，且的斜率为，当时，求在轴上的截距的取值范围（用表示），并证明的平分线始终与轴平行.

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析

【解析】

（1）设直线的方程为与抛物线方程联立求解，得到，，

利用转化求即可.

（2）直线的方程为与抛物线方程联立求解，利用根与系数的关系可得轴上的截距的取值范围；要证明的平分线与轴平行，则只需要直线的斜率互补，即证明.

解：（1）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，代入抛物线方程可得，即，

所以，

但，故直线的斜率存在，设其方程为.

由得，

设，则，

所以，

解得，所以直线的斜率为.

（2）设直线的方程为.

由得，

则.

由，得.又，所以，从而在轴上的截距的取值范围为.

，

所以直线的斜率互补，从而的平分线始终与轴平行.