Question

【题目】如图，侧棱与底面垂直的四棱柱的底面是平行四边形，，．

（1）求证：∥平面；

（2）若，，，求与平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）90°．

【解析】

（1）取的中点，连接、．设，连接．可证明，从而可证得线面平行；

（2）由余弦定理求得，从而由勾股定理逆定理得．然后以为坐标原点，以，，所在方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，用空间向量法求得线面角．

（1）取的中点，连接、．设，连接．

由题意，是线段的中点，是线段的中点，

所以是的中位线，

所以．

由题意，，，，

所以，又，所以四边形是平行四边形．

所以．

又，所以．

又平面，平面，

所以平面．

（2）在中，，，

由余弦定理，得．

可见，所以．

以为坐标原点，以，，所在方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，．

所以，，．

设为平面的法向量，则即

令，则．

可见，就是平面的一个法向量，所以与平面所成的角为90°．