Question

【题目】如图，在菱形中，，平面平面是线段的中点，.

（1）证明：平面.

（2）求直线与平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）设与的交点为，连接，则有平面，

平面，进而可证平面平面，即可证明结论；

（2）由已知，平面平面，可得平面，连接，可证平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，确定坐标，求出平面的法向量，进而求出直线与平面所成角的正弦，再由三角函数关系，即可求出结论.

（1）设与的交点为，连接.

因为，平面平面，

所以平面.

又是的中位线，所以，

又平面平面，所以平面.

又，所以平面平面.

又平面，故平面.

（2）因为，平面平面，

平面平面平面，

所以平面.

连接，则，

故四边形是平行四边形，

故，从而平面.

以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，

建立空间直角坐标系，则， ，

设平面的法向量为，

则，令，则，

平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角为，

，

，

所以直线与平面所成角的余弦值为.