Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若不等式对任意的正实数都成立，求实数的最大整数值.

（3）当时，若存在实数且，使得，求证.

Answer 1

【答案】（1）增区间，减区间；（2）2；（3）见解析

【解析】

（1）由，得，再求出函数的导函数，得到单调递减区间，得到单调递增区间；

（2）依题意得，所以，令，利用导数说明其单调性，由，，即存在使，且，所以，从而得到的取值范围；

（3）令，解得，由题意知，即可得到函数的单调区间，即可得到，同理，从而得解；

解：（1）当时，，，令得，

当时，，单调递减，即的单调递减区间为；

当时，，单调递增，即的单调递增区间为.

（2）依题意得，

所以，

令，显然在上单调递增，

且，，∴存在使，

且当时，，单调递减；当时，，单调递增.

∴而，

∴，

∴，

∴，∴的最大整数值为2.

（3）令，解得，由题意知，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

∵在上单减，在上单增，且，

∴当时，，由，，可得，

∴，∴，同理，

则，解得.