Question

【题目】已知椭圆的短轴长为，离心率，其右焦点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知短轴长求出，离心率求出关系，结合，即可求解；

（2）当直线的斜率都存在时，不妨设直线的方程为，直线与椭圆方程联立，利用相交弦长公式求出，斜率为，求出，得到关于的表达式，根据表达式的特点用“”判别式法求出范围，当有一斜率不存在时，另一条斜率为，根据弦长公式，求出，即可求出结论.

（1）由得，又由得，

则，故椭圆的方程为.

（2）由（1）知，

①当直线的斜率都存在时，

由对称性不妨设直线的方程为，

由，

，设，

则，

则，

由椭圆对称性可设直线的斜率为，

则，

.

令，则，

当时，，当时，由得，所以，

即，且.

②当直线的斜率其中一条不存在时，

根据对称性不妨设设直线的方程为，斜率不存在，

则，，

此时.

若设的方程为，斜率不存在，

则，

综上可知的取值范围是.