【题目】已知三棱锥
中，
，
，
，
.有以下结论：①三棱锥的表面积为
；②三棱锥的内切球的半径
；③点
到平面
的距离为
；其中正确的是（ ）
A.①②B.②③C.①③D.①②③
【答案】D
【解析】
①取
的中点
，连接
、
，分别求出四个面的面积，即可求得表面积；
②采用分割法，将三棱锥
分割成以四个面为底面，内切球的球心为顶点，半径为高的四个三棱锥，根据等积法
，即可求得内切球的半径；
③利用面面垂直的判定定理可证平面
平面
，于是点
到平面
的距离即为点到的距离，再利用三角形的等面积法即可得解．
如图所示：
取的中点，连接、，则
，
，
，
，
，
，
由题意可计算得出
，
，以及各线段长度如图，
∴三棱锥的表面积为
，即①正确；
∵由题可得，
平面
，∴由等体积法可得，
，
∴
，即②正确；
，，、
平面，
平面，
又
平面，
平面平面，
点到平面的距离即为点到的距离，
由三角形等面积法可知，在
中，点到的距离为
，即③正确．
故选：．
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【题目】已知抛物线
：
上一点
到其焦点
的距离为2.
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设抛物线的准线与
轴交于点
，直线
过点且与抛物线交于
，
两点（点在点，之间），点
满足
，求
与
的面积之和取得最小值时直线的方程.
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【题目】某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP，
，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为
.记∠PCA＝
（道路宽度均忽略不计）.
（1）若
，求QN的长度；
（2）求新路总长度的最小值.
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【题目】已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球．则3个小球颜色互不相同的概率是_____；若变量ξ为取出3个球中红球的个数，则ξ的数学期望E（ξ）为_____．
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【题目】已知，如图四棱锥
中，底面
为菱形，
，
，
平面，E，M分别是BC，PD中点，点F在棱PC上移动.
（1）证明无论点F在PC上如何移动，都有平面
平面
；
（2）当直线AF与平面PCD所成的角最大时，求二面角
的余弦值.
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【题目】在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（t为参数，
）．在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为
．
（1）若点
在直线l上，求线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知
，点P在直线l上，点Q在曲线C上，且
的最小值为
，求a的值．
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【题目】已知定点S( -2，0) ，T(2，0)，动点P为平面上一个动点，且直线SP、TP的斜率之积为
.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点，是否存在直线l，使得l交轨迹E于M，N两点，且F(1，0)恰是△BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，说明理由.
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【题目】红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①
，②
分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.
根据收集到的数据，计算得到如下值：
|
|
|
|
|
|
|
25 | 2.89 | 646 | 168 | 422688 | 48.48 | 70308 |
表中
；
；
；
；
（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值.
（参考数据：
，
，
，
）
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
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