Question

【题目】某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）.

（1）若，求QN的长度；

（2）求新路总长度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）QN的长度为1千米（2）

【解析】

（1）连接，通过切线的几何性质，证得四边形是正方形，由此求得的长度.

（2）用表示出线段，，线段的长，由此求得新路总长度的表达式，利用基本不等式求得新路总长度的最小值.

（1）连接CB，CN，CM，OM⊥ON，OM，ON，PM，QN均与圆C相切

∴CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，∴CB⊥CA

∵∠PCA＝，∠PCQ＝，∴∠QCB＝，

此时四边形BCQN是正方形，∴QN＝CQ＝1，

答：QN的长度为1千米；

（2）∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ＝，

则MP＝，，NQ＝

设新路长为，其中(，)，即

∴，

，当时取“＝”，

答：新路总长度的最小值为.