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    【题目】已知函数，，函数在点处的切线与函数相切.

    （1）求函数的值域；

    （2）求证：.

    【答案】（1）；（2）证明见解析.

    【解析】

    （1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，与函数的解析式联立，由可求得的值，然后利用二次函数的基本性质可求得函数的值域；

    （2）要证明，即证，即证，求出函数的最小值，并利用导数求出函数的最大值，由此可得出结论.

    （1）切点，，则，.

    所以，函数在点处的切线方程为，即.

    函数在点处的切线与函数相切.

    联立，化为，

    ，，解得.

    ，所以，函数的值域为；

    （2）要证，即证，即证.

    设，，则函数的定义域为.

    ，.

    当时，，此时，函数单调递增；

    当时，，此时，函数单调递减.

    所以，函数的最大值为.

    所以，，但是函数的最小值和函数的最大值不在同一处取得，

    因此，.

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