Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，）．在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．

（1）若点在直线l上，求线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）已知，点P在直线l上，点Q在曲线C上，且的最小值为，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）直线l的直角坐标方程曲线C的直角坐标方程（2）

【解析】

（1）将直线l的参数方程，消去参数整理得到，再根据点直线l上，把点代入直角坐标方程求解.将曲线C的极坐标方程，利用二倍角公式转化为，再将代入求解.

（2）根据点P在直线l上，点Q在曲线C上，且的最小值为，则直线与曲线相离，联立，由及已知，解得a的范围， 将曲线转换为参数方程为（为参数），设，由点到直线的距离公式得到，然后利用正弦函数的性质求解.

（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），

消去参数得：，

整理得：，

因为点直线l上，

把点代入直角坐标方程，解得．

所以直线的直角坐标方程为．

因为曲线C的极坐标方程为．

所以，

所以，

因为，

代入上式整理得：，

所以曲线C直角坐标方程为：．

（2）联立，得，

由得：或，

又，∴．

曲线的参数方程为（为参数），

设，

所以：

所以当时，，

解得：或，

又，∴．