Question

【题目】如图1，在梯形中，，点在线段上，且满足，将沿翻折，使翻折后的二面角的余弦值为，如图2．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）先根据菱形的性质证得线线垂直，再根据线面垂直的判定定理证得线面垂直，最后根据线面垂直的性质定理证得线线垂直；

（2）先通过作辅助线找到所求的线面角及二面角的平面角，再通过解三角形求相关线段的长度，即可得线面角的正弦值，也可根据垂直关系建立空间直角坐标系进行求解．

解：（1）在梯形中，

连接，

记．

由题意易得，

所以四边形是平行四边形，

又，

所以四边形是菱形，

所以，

所以．

又，平面，

所以平面，又平面，

所以．

（2）因为平面平面，

所以平面平面．

过点作交的延长线于点，

如图所示，

因为平面平面，

所以平面．

延长交于点，连接，

则为直线与平面所成的角．

由，

得二面角的平面角为，

则，

所以．

由四边形是菱形，

且易得，

得为等边三角形，

所以，

所以．

在中，易知为的中位线，，

所以，

所以，

即直线与平面所成角的正弦值为．