Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的最小值；

（2）若，且，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）当时,,先求导可得,设,利用导函数可判断在上单调递增,由,即可判断的单调性,进而求解；

（2）先求导可得,容易得到在上单调递增,由,即可判断在上单调递减,在上单调递增,设,则,,设,利用导函数可判断在上单调递增,则,即,则可得,即,进而由的单调性求证即可.

（1）解:当时,,

所以,

设,则,所以在上单调递增,

即在上单调递增,

因为,

所以当时,；当时,,

因此在上单调递减,在上单调递增,

所以.

（2）证明:,则,所以在上单调递增,因为,

所以当时,；当时,,

因此,在上单调递减,在上单调递增,

由,不妨设,则,,

令

,

则

，

当时，，

故,所以在上单调递增；

所以当时，即时,，

因此,

又,所以,

因为,,在上单调递增,

所以,即,故.