Question

5．设函数$f（x）=（{x-1}）{e^x}+\frac{a}{2}{x^2}$．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a∈[-e，0]，证明：函数f（x）只有一个零点．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围得到函数的单调性；
（2）通过讨论a的范围结合函数的单调性求出函数的零点个数，从而证出结论．

解答 解：（1）函数f（x）定义域为R，f′（x）=xe^x+ax=x（e^x+a），
①若a≥0时，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增．
②若a＜0，令f′（x）=0得x=0或x=ln（-a），
（i）当a=-1时，f′（x）=x（e^x-1），所以函数f（x）在R上单调递增；
（ii）当-1＜a＜0时，ln（-a）＜0，当x＜ln（-a）或x＞0时，f′（x）＞0，
当ln（-a）＜x＜0时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（-∞，ln（-a）），（0，+∞）上单调递增，在（ln（-a），0）单调递减；
（iii）当a＜-1时，ln（-a）＞0，当x＞ln（-a）或x＜0时，f′（x）＞，当0＜x＜ln（-a）时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（-∞，0），（ln（-a），+∞）上单调递增，在（0，ln（-a））单调递减；
（2）证明：当a=0时，函数f（x）=（x-1）e^x只有一个零点x=1；
当-1≤a＜0时，由（1）得函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（0）=-1，f（2）=e²+2a≥e^x-2＞0，
而x＜0时，f（x）＜0，所以函数f（x）只有一个零点．                              
当-e≤a＜-1时，由（1）得函数f（x）在（0，ln（-a））单调递减，在（ln（-a），+∞）上单调递增，
且f（ln（-a））＜f（0）=-1＜0，f（2）=e²+2a≥e^x-2e＞0，而x＜0时，f（x）＜0，所以函数f（x）只有一个零点．
所以，当a∈[-e，0]，函数f（x）只有一个零点．

点评 本题考查了函数的单调性、考查导数的应用以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，是一道难题．