Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+S_n=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{a_n}中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；
（3）若从数列{a_n}中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S满足，这样的等比数列有多少个？

Answer 1

解：（1）当n=1时，a₁+S₁=2a₁=2，则a₁=1．
又a_n+S_n=2，
∴a_n+1+S_n+1=2，两式相减得，
∴{a_n}是首项为1，公比为的等比数列
∴
（2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a_p+1，a_q+1，a_r+1（p＜q＜r）
则，∴2●2r﹣q=2^r﹣p+1（*）
又∵p＜q＜r
∴r﹣q，r﹣p∈N*
∴*式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立
∴假设不成立原命题得证．
（3）设抽取的等比数列首项为，公比为，项数为k，
且满足m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1，
则
又∵
∴
整理得：①
∵n≥1  ∴2^m﹣n≤2^m﹣1．
∴
∴m≥4
∵   ∴
∴m≥4
∴m=4将m=4代入①式整理得    ∴n≥4
经验证得n=1，2不满足题意，n=3，4满足题意．
综上可得满足题意的等比数列有两个．