Question

(理)已知函数f(x)=(0＜x＜1)的反函数为f^-1(x)，设它在点(n,f^-1(n))(n∈N^*)处

的切线在Y轴上的截距为b_n，数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=f^-1(a_n)(n∈N^*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)在数列{}中，仅当n=5时，取最小值，求A的取值范围；

(3)令函数g(x)=f^-1(x)(1+x)²，数列{cn}满足：c₁=，c_n+1=g(cn)(n∈N^*)，求证：对于一切

n≥2的正整数，都满足：1＜＜2．

(文)已知函数f(x)：(0＜x＜1)的反函数为f^-1(x)，数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=f^-1(a_n) (n∈N^*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设函数g(x)=f^-1(x)(1+x)²在点(n，g(n))(n∈N^*)处的切线在Y轴上的截距为b_n，求数列{b_n}的通项公式；

(3)在数列{b_n+}中，仅当n=5时，b_n+取最大值，求λ的取值范围．

Answer 1

答案：(理)(1)∵f(x)=,

∴函数f(x)=(0＜x＜1)的反函数为

f^-1(x)=(x＞0)．

则a_n+1=f^-1(a_n)=,

得+1，即=1，

∴数列{}是以2为首项、1为公差的等差数列，故a_n=.

(2)又∵[f^-1(x)]′=.

∴函数f^-1(x)在点(n，f^-1(n))(n∈N^*)处的切线方程为：y-f^-1(n)=(x-n)，

令x=0，得b_n=

∴=n²+λ(n+1)=(n+)²+λ,

仅当n=5时取最小值，只需4.5＜＜5.5，解得-11＜λ＜-9．

故A的取值范围为(-11，-9)．

(3)∵g(x)=f^-1(x)(1+x)²=x(1+x)，

故c_n+1=g(c_n)=c_n(1+c_n)，

又∵c₁=＞0，故c_n＞0，

则,

即,

∴

=()+()+…+()

=,

又

＞

=＞1,

故1＜+…+＜2.

(文)(1)∵f(x)=,

∴函数f(x)=(0＜x＜1)的反函数为f^-1(x)=(x＞0)．

贝a_n+1=f^-1(a_n)=，得+1，即=1，

∴数列{}是以2为首项、1为公差的等差数列，故a_n=.

(2)∵g(x)=f^-1(x)(1+x)²=(1+x)²=x+x²，

∴g′(x)=1+2x，即在点(n，g(n))处切线的斜率k=g′(n)=1+2n，

∴切线方程为y-g(n)=(1+2n)(x-n)，

令x=0，得b_n=g(n)-n-2n²=-n²．

(3)b_n+=-n²+λ(n+1)=-(n)²+λ+仅在n=5时取最大值，只需4.5＜＜5.5，解得9＜λ＜11．

故λ的取值范围为(9，11)．