Question

已知函数f（x）=x²-2ax，x∈[-1，1]
（1）若函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）；
（2）判断并证明函数g（x）的奇偶性；
（3）若函数h（x）=g（x）-x-m有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用配方法可得f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，x∈[-1，1]，分别讨论a＜-1，-1≤a≤1和a＞1时，函数f（x）的最小值g（a），综合讨论结果，可得答案．
（2）根据（1）中g（a）的解析式，利用函数奇偶性的定义，判断g（-x）与g（x）的关系，可判断函数g（x）的奇偶性；
（3）函数h（x）=g（x）-x-m有两个零点，即方程h（x）=g（x）-x-m=0有两个不等实根，即方程g（x）=x+m有两个不等实根，即函数g（x）的图象与直线y=x+m有两个交点，作出函数g（x）的图象与直线y=x+m，数形结合可得实数m的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，x∈[-1，1]
当a＜-1时，f（x）在[-1，1]上单调递增，故g（a）=f_min（x）=f（-1）=1+2a；
当-1≤a≤1时，g(a)=fmin(x)=f(a)=-a2；
当a＞1时，f（x）在[-1，1]上单调递减，故g（a）=f_min（x）=f（1）=1-2a
故g(a)=

1+2a，a＜-1 -a2，-1≤a≤1 1-2a，a＞1

…（4分）
（2）由（1）知g(x)=

1+2x，x＜-1 -x2，-1≤x≤1 1-2x，x＞1

，g（x）是偶函数，证明如下：
g（x）的定义域为R关于原点对称    …（5分）
当x＜-1时，g（x）=1+2x，-x＞1，则g（-x）=1-2（-x）=1+2x=g（x）
当-1≤x≤1时，g（x）=-x²，-1≤-x≤1，则g（-x）=-（-x）²=-x²=g（x）
当x＞1时，g（x）=1-2x，-x＜-1，则g（-x）=1+2（-x）=1-2x=g（x）
故对任意x∈R都有g（-x）=g（x），所以g（x）是偶函数    …（8分）
（3）函数h（x）=g（x）-x-m有两个零点?方程h（x）=g（x）-x-m=0有两个不等实根?方程g（x）=x+m有两个不等实根?函数g（x）的图象与直线y=x+m有两个交点
作出函数g（x）的图象与直线y=x+m，如图所示．
当抛物线y=-x²与直线y=x+m只有一个交点时
由

y=x+m y=-x2

得x²+x+m=0，∴△=1-4m=0⇒m=

1

4

，此时直线为y=x+

1

4

由图可知把直线y=x+

1

4

向下平移时，m的值减少，函数g（x）的图象与直线y=x+m有两个交点
故m∈(-∞，

1

4

)…（12分）

点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中的分类讨论思想的应用的根据是比较对称轴与区间的位置关系．