Question

1．已知函数f（x）=e^x-ax-1
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，结合函数的定义域，对参数a进行讨论，利用导数大于0得函数的单调增区间，导数小于0得函数的单调减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，只需f（x）_min=f（lna）=a-alna-1＜0，即lna+$\frac{1}{a}$-1＞0即可，构造函数根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ） f（x）的定义域是（-∞，+∞），f′（x）=e^x-a，
（1）当a≤0时，f'（x）＞0成立，
f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）； 
（2）当a＞0时，
令f'（x）＞0，得x＞lna，则f（x）的单调增区间是（lna，+∞），
令f'（x）＜0，得x＜lna，则f（x）的单调减区间是（-∞，lna）；
综上所述，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，f（x）的单调增区间是（lna，+∞），单调减区间是（-∞，lna）．
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，
由（Ⅰ）得，a＞0，此时只需f（x）_min=f（lna）=a-alna-1＜0，
即lna+$\frac{1}{a}$-1＞0即可，
令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞0），
h′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴h（x）_min=h（1）=0，
∴x∈{x|x＞0且x≠1}时，h（x）＞0，
∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．