Question

已知定义域为的函数是奇函数。

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性;

（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）在上为减函数；（3）.

【解析】

试题分析：（1）因为函数定义在上的奇函数，所以对任意，，；

（2）根据（1）的到的解析式，函数的单调性同过函数单调性的定义可判断，首先任取，然后作差比较与的大小，得到，进而得在上为减函数；（3）显然通过代入解不等式计算难度很大，可以通过奇偶性和单调性解不等式，首先原不等式同解

,由（2）知在上为减函数，所以原不等式只需通过解即：看成关于的二次函数，且，进而只需，求得的取值范围．

试题解析：（1）因为是奇函数，所以=0， （2分）

即 （4分）

（2）由（1）知， （5分）

设则 （6分）

因为函数y=2在R上是增函数且 ∴>0

又>0

∴>0即 （8分）

∴在上为减函数. （9分）

（3）因是奇函数，

从而不等式：

等价于， （11分）

因为减函数，由上式推得：． （12分）

即对一切有：， （13分）

从而判别式 （14分）

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.解不等式.