Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率为

2

2

的椭圆经过点（

6

，1）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l₁，l₂分别与椭圆交于A，B和C，D，是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，经过点（

6

，1），
∴e=

c

a

=

2

2

?

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

①，

( 6 )2

a2

+

12

b2

=1②，
由①②解得a²=8，b²=4，
∴该椭圆的标准方程为：

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）∵椭圆

x2

8

+

y2

4

=1的左焦点F₁（-2，0）；
设过其左焦点F₁的直线AB的方程为：y=k₁（x+2），k₁≠0
由方程组

y=k1(x+2) x2 8 + y2 4 =1

得（2k12+1）x²+8k12x+8k12-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-8k12

2k12+1

，x₁•x₂=

8k12-8

2k12+1

由弦长公式得|AB|=

1+k12

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (k12+1)

2k12+1

，
同理设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），|CD|=

1+k22

•

(x3+x4)2-4x3x4

=

4 2 (k22+1)

2k22+1

，，
由（1）k₁•k₂=-1得k₂=-

1

k1

，代入得|CD|=

4 2 (k12+1)

k12+2

，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=

|AB|+|CD|

|AB|•|CD|

=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3

4 2

=

3 2

8

，则存在λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．