Question

1．如图所示，AB为圆O的直径，BC为圆O的切线，B为切点，D为圆O上一点，AD∥OC．
（Ⅰ）求证：OC平分∠BCD；
（Ⅱ）若AD•OC=8，求圆O半径R的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，OD，证明△OBC≌△ODC，可得OC平分∠BCD；
（Ⅱ）证明△BAD∽△COD，利用AD•OC=8，即可求圆O半径R的值．

解答 （Ⅰ）证明：连接BD，OD，
∵CB是圆O的切线，∴∠ABC=90°，
∴∠BOC=∠A，∠DOC=∠ODA，…（2分）
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠BOC=∠DOC，
∵OB=OD，OC=OC，…（4分）
∴△OBC≌△ODC，
∴OC平分∠BCD．…（5分）
（Ⅱ）解：∵AO=OD，
∴∠DAO=∠DOC，
∵AB是直径，
∴∠OBC=∠ADB=90°．…（7分）
∴△BAD∽△COD，
∴AD•OC=AB•OD=8=2R²．…（9分）
∴R=2． …（10分）

点评 本题考查相似三角形的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确判断三角形相似是关键．