Question

8．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧$\widehat{AC}$上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F
（1）求证：∠CDF=∠EDF；
（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．

Answer 1

分析 （I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．
（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB²=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．

解答 证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，
且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；
（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，
∵∠BAD=∠FAB，
∴△BAD∽△FAB，
∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AB²=AD•AF，
∵AB=AC，
∴AB•AC=AD•AF，
∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，
根据割线定理DF•AF=FC•FB，
∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．

点评 本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查三角形的相似，属于基础题．